Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) =

Vì d(I, α) < R Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

K(-1, 2, 3)

Ta có: IK² = (-1 - 3)² + (2 + 2)² + (3 - 1)² = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r² = R² - IK² = 10² - 36 = 64 r= 8

Giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) =

Vì d(I, α) < R Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

K(-1, 2, 3)

Ta có: IK² = (-1 - 3)² + (2 + 2)² + (3 - 1)² = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r² = R² - IK² = 10² - 36 = 64 r= 8

Tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

Tam giác ABC là tam giác vuông tại B

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)

Chọn C.

(1); vecto u=2*vecto a-vecto b

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot1-0=2\\y=2\cdot\left(-4\right)-2=-10\end{matrix}\right.\)

(2): vecto u=-2*vecto a+vecto b

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\cdot\left(-7\right)+4=18\\y=-2\cdot3+1=-5\end{matrix}\right.\)

(3): vecto a=2*vecto u-5*vecto v

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\cdot\left(-5\right)-5\cdot0=-10\\b=2\cdot4-5\cdot\left(-3\right)=15+8=23\end{matrix}\right.\)

(4): vecto OM=(x;y)

2 vecto OA-5 vecto OB=(-18;37)

=>x=-18; y=37

=>x+y=19

Bán kính mặt cầu: \(R=\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+1^2+8}=\sqrt{14}\)

Tâm mặt cầu: \(I\left(1;-2;1\right)\)

\(\Rightarrow d\left(I;\left(Q\right)\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{42}}{2}\)

Do (Q) song song (P) nên pt (Q) có dạng: \(2x+3y+z+d=0\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(d\left(I;\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2-6+1+d\right|}{\sqrt{2^2+3^2+1}}=\frac{\sqrt{42}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|d-3\right|=7\sqrt{3}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=3+7\sqrt{3}\\d=3-7\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 mặt phẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}2x+3y+z+3+7\sqrt{3}=0\\2x+3y+z+3-7\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\)

a: Tọa độ A là:

4x-3y-12=0 và 4x+3y-13=0

=>A(25/8;1/6)

Tọa độ B là:

x=0 và 4x-3y-12=0

=>x=0 và y=-4

Tọa độ C là:

x=0 và 4x+3y-13=0

=>y=13/3

b: A(25/8;1/6); B(0;-4); C(0;13/3)

\(AB=\sqrt{\left(0-\dfrac{25}{8}\right)^2+\left(-4-\dfrac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{125}{24}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(0-\dfrac{25}{8}\right)^2+\left(\dfrac{13}{3}-\dfrac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{125}{24}\left(cm\right)\)

\(BC=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{13}{3}+4\right)^2}=\dfrac{25}{3}\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{125}{24}+\dfrac{125}{24}+\dfrac{25}{3}\right)=\dfrac{75}{8}\)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{-7}{25}\)

=>sin A=24/25

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{125}{24}\cdot\dfrac{125}{24}=\dfrac{625}{48}\)

=>r=625/48:75/8=25/18